Bonjour et bienvenue dans Le Dico ! Aujourd’hui, on vous propose un petit plongeon dans le vaste univers de la logique, un domaine riche lié à la fois à la philosophie et aux mathématiques, et dont l’histoire remonte à l’Antiquité.
La logique, un jeu d’enfant ! Vous pensez être un as des énigmes ? C’est ce qu’on va voir !
En quelques mots, on pourrait définir la logique comme étant “l’art du raisonnement valide”. Son objectif n’est pas de juger du vrai ou du faux, mais d’étudier les formes du raisonnement et la cohérence des arguments, indépendamment de leur contenu.
L’origine de la logique remonte au IVᵉ siècle avant notre ère avec le philosophe grec Aristote, que l’on considère comme le fondateur de la logique en tant que discipline. Il classe alors différents schémas de raisonnements, basés sur deux assertions, pour séparer ceux qui permettent d’obtenir une conclusion valide de ceux qui ne le permettent pas. C’est ce que l’on appelle les syllogismes.
Le plus célèbre est le suivant, qui montre un raisonnement valide :
- Tous les hommes sont mortels.
- Or, Socrate est un homme.
- Donc, Socrate est mortel.
On pourra approfondir les syllogismes dans un autre épisode du dico.
Le travail d’Aristote permet de poser des notions fondamentales de la logique en distinguant :
- Les affirmations universelles (“Tous les chats sont gris.”)
- Les affirmations particulières (“Certains chats sont gris.”)
- Les négations universelles (“Aucun chat n’est gris.”)
- Les négations particulières (“Certains chats ne sont pas gris.”)
Moins connu pour son travail en logique, un autre philosophe grec, le stoïcien Chrysippe de Soles, a également mis à jour des notions fondamentales de la discipline : les connecteurs logiques. Ces petits mots, tels que “et”, “ou”, “si” permettent d’articuler plusieurs idées :
- Mon chat dort la nuit et le jour.
- Mon chat dort la nuit ou le jour.
- S’il fait jour, alors mon chat dort.
On comprend que pour que chacune de ces phrases, les conditions qui les rendent vraies ne sont pas les mêmes :
- Si mon chat ne dort en réalité que la nuit, alors seul la phrase avec le connecteur “ou” est vraie.
- À l’inverse, s’il ne dort que le jour, seul la phrase avec le connecteur “et” est fausse.
Près de 2000 ans plus tard, au XVIIᵉ siècle, c’est au tour du philosophe allemand Leibniz de s’intéresser à la logique comme théorie mathématique. Sa réflexion se fonde sur l’idée de créer une “langue universelle”, la “Characteristica Universalis”. Il l’imagine prendre la forme d’un système rationnel conçu pour manipuler les concepts sans passer par des mots, et ainsi déterminer la validité des raisonnements par le biais de calculs logiques.
Même si Leibniz n’a pas pu concevoir sa langue universelle, plusieurs logiciens du XIXᵉ siècle ont continué à travailler sur le projet d’un système logique formel.
C’est ainsi que George Boole, mathématicien anglais, développe une algèbre binaire. Basée uniquement sur des 0 et des 1, elle rend enfin possible les calculs logiques en substituant le concept de “faux” par 0 et le concept de “vrai” par 1, et jouera un rôle essentiel dans le développement des circuits électroniques et de l’informatique.
De son côté, Gottlob Frege, mathématicien allemand, contribue à rapprocher logique et langage en allant plus loin qu’Aristote dans l’analyse des phrases. Il fonde la logique moderne en créant son propre système symbolique et systématise notamment l’opposition universel / particulier à laquelle il associe des variables, c’est-à-dire des symboles qui représentent des valeurs interchangeables.
Toutefois, une découverte viendra mettre un frein à la recherche d’un système logique universel. En 1931, le logicien Kurt Gödel révèle que tout système logique suffisant pour décrire les nombres naturels est nécessairement limité : il existe des vérités qu’il ne pourra jamais démontrer.
Pour comprendre la démonstration de Gödel, on peut la rapprocher du paradoxe du menteur, même si sa méthode, basée sur la logique mathématique, est en réalité beaucoup plus rigoureuse. L’idée centrale est la suivante :
- Si une formule impossible à prouver est vraie, cela signifie que le système logique ne peut pas la prouver, et donc qu’il existe au moins une vérité qu’il ne permet pas de démontrer.
- Au contraire, si la formule est fausse, cela signifie que le système peut prouver quelque chose de faux, et donc que le système n’est pas “logique”…
La découverte de Gödel met fin au rêve des logiciens de créer un outil formel universel. En clair, il restera toujours des énigmes que la logique ne pourra pas résoudre. Malgré tout, cela ouvre la voie à de nouveaux champs de recherche, comme la théorie des preuves, le développement de l’informatique théorique, et plus tard de l’intelligence artificielle.
